粗糙黎曼背景下的可求长性与切线

刻画欧氏空间中 Radon 测度的可求长性为几何测度论带来了基础性贡献。涉及某些奇异积分的主值存在性 \cite{mattila1995rectifiable} 以及相对于欧氏球的密度存在性 \cite{preiss1987geometry} 的条件已引发重大突破。我们在一个粗糙椭圆背景下研究类似问题,其中欧氏球 $B(a,r)$ 被偏心率和主轴依赖于 $a$ 的椭圆 $B_{\Lambda}(a,r)$ 所替代。给定 $\Lambda : \mathbb{R}^{n} \to GL(n,\mathbb{R})$,考虑椭圆族 $B_{\Lambda}(a,r) = a + \Lambda(a) B(0,r)$。我们用密度的几乎处处存在性刻画了 $m$-可求长性 $$\theta^{m}_{\Lambda(a)}(\mu,a) = \lim_{r \downarrow 0} \frac{\mu(B_{\Lambda}(a,r))}{r^{m}} \in (0, \infty).$$ 我们用主值的存在性刻画了 $m$-可求长测度——甚至在更弱的假设下,当 $0 < \theta^{m}_{*}(\mu,a) < \infty$ 几乎处处成立时 $$\lim_{\epsilon \downarrow 0} \int_{B_{\Lambda}(a,\epsilon R) \setminus B_{\Lambda}(a, \epsilon r)} \frac{\Lambda(a)^{-1}(y-a)}{|\Lambda(a)^{-1}(y-a)|^{m+1}} d \mu(y) = 0 \quad \forall 0 < r < R$$ 也成立。我们将第二个结果应用于在 $A$ 的弱连续性假设下,通过偏微分方程 $L_{A} u = - \textrm{div}(A \nabla u)$ 的单层势的梯度行为刻画 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $(n-1)$-可求长测度。