单层势梯度的 $L^2$ 有界性与一致可求长性

设 $A(\cdot)$ 为一个 $(n+1)\times (n+1)$ 一致椭圆矩阵,具有 Hölder 连续的实系数,并设 $\mathcal E_A(x,y)$ 为 PDE $\mathrm{div} A(\cdot) \nabla u =0$ 在 $\mathbb R^{n+1}$ 中的基本解。设 $\mu$ 为 $\mathbb R^{n+1}$ 中紧支撑的 $n$-AD-正则测度,并考虑相关算子 $$T_\mu f(x) = \int \nabla_x\mathcal E_A(x,y)\,f(y)\,d\mu(y).$$ 我们证明若 $T_\mu$ 在 $L^2(\mu)$ 中有界,则 $\mu$ 是一致 $n$-可求长的。这将 codimension $1$ 的 David-Semmes 问题关于 Riesz 变换的解推广到单层势的梯度。结合 Conde-Alonso、Mourgoglou 和 Tolsa 之前的结论,这表明给定 $E\subset\mathbb R^{n+1}$ 具有有限 Hausdorff 测度 $\mathcal H^n$,若 $T_{\mathcal H^n|_E}$ 在 $L^2(\mathcal H^n|_E)$ 中有界,则 $E$ 是 $n$-可求长的。进一步,作为一个应用我们证明,若与上述 PDE 相关的椭圆测度关于曲面测度绝对连续,则它必为可求长的,类似于调和测度的情况。