高余维下 Dahlberg 定理逆定理的一个障碍

近来已认识到，$\mathbb{R}^n$ 中区域 $\Omega$ 的边界 $E = \partial \Omega$ 上的调和测度关于 $E$ 上的 Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^{n - 1}$ 绝对连续，当且仅当边界 $E$ 是可求长的。随后，G. David、M. Engelstein、J. Feneuil、S. Mayboroda 及其他合作者借助算子 $L_\alpha = -\mbox{div} D_{\alpha}^{-n + d + \alpha} \nabla$（其中 $\alpha > 0$，$D_\alpha$ 为到集合 $E$ 的某种正则化距离函数）发展了余维数 $n - d$ 更高的 Ahlfors 正则集 $E$ 的调和测度概念。他们启动了一个研究纲领，旨在建立与经典情形类似的等价性：高余维集合 $E$ 的可求长性与（新）调和测度和 Hausdorff 测度之间的良好关系。可求长性对定量绝对连续的充分性方才获得。另一方向的主要障碍是证明粗略而言方程 $L_\alpha D_\alpha = 0$ 仅当集合 $E$ 为超平面时成立。本文我们证明若干初步结果，表明后一猜想可能为真。我们也说明某种解决该问题的自然策略无法贯彻到底。