具有复 $L^\infty$ 系数的散度型椭圆方程层位势的解析性及边值问题的 $L^{2}$ 可解性

我们考虑形式为 $L=-\dv A(x)\nabla$ 的散度型椭圆算子，定义在 $R^{n+1} = \{(x,t)\in R^n \times R \}$ 中，$n \geq 2$，其中 $L^\infty$ 系数矩阵 $A$ 为 $(n+1)\times(n+1)$ 维，一致椭圆、复数且与 $t$ 无关。我们表明，对于此类算子，相应层位势算子在 $L^2(\mathbb{R}^{n})=L^2(\partial\mathbb{R}_{+}^{n+1})$ 上的有界性和可逆性在系数矩阵的复 $L^\infty$ 扰动下是稳定的。利用 $Tb$ 定理的一个变体，我们还证明了只要 $A(x)$ 是实对称的，层位势在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上就是有界且可逆的（因此，根据我们的稳定性结果，当 $A$ 为复数、$\Vert A-A^0\Vert_{\infty}$ 足够小且 $A^0$ 为实对称、$L^\infty$ 及椭圆时也成立）。特别是，我们建立了具有 $L^2$（分别为 $\dot{L}^2_1$）数据的 Dirichlet 和 Neumann（以及正则性）问题的可解性，适用于实对称矩阵的小复扰动。此前，复系数（甚至是实但非对称系数）的 $L^2$ 可解性结果仅在常数矩阵的扰动情况下（且仅针对 Dirichlet 问题）已知成立，或者在特殊情形 $A_{j,n+1}=0=A_{n+1,j}$ ($1\leq j\leq n$) 下成立，后者对应于 Kato 平方根问题。