Dahlberg关于散度形式复系数椭圆方程解的双线性估计

我们考虑定义在$\mathbb{R}^{n+1}=\{(x,t)\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\}, n \geq 2$上的散度形式椭圆算子$L=-\dv A(x)\nabla$，其中$L^{\infty}$系数矩阵$A$是$(n+1)\times(n+1)$、一致椭圆、复数且与$t$无关。利用关于此类算子相关层势的有界性和可逆性的最新结果，我们证明：若$Lu=0$在$\mathbb{R}^{n+1}_+$中成立，则对任意向量值${\bf v} \in W^{1,2}_{loc}$，我们有双线性估计$$|\iint_{\mathbb{R}^{n+1}_+} \nabla u \cdot \bar{{\bf v}} dx dt |\leq C\sup_{t>0} \|u(\cdot,t)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}(\||t \nabla {\bf v}\|| + \|N_*{\bf v}\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}),$$其中$\||F\|| \equiv (\iint_{\mathbb{R}^{n+1}_+} |F(x,t)|^2 t^{-1} dx dt)^{1/2}$，$N_*$为通常的非切向极大算子。该结果即使在实对称系数情形下也是新的，并推广了Dahlberg关于Lipschitz图域上调和函数的类似结果。