一类散度型椭圆算子先验 $l^p$ 估计的概率证明

设 ${\cal L}$ 为形如 ${\cal L}f:=(1/2) e^{U}\nabla_x\cdot\big[e^{-U}(I+H)\nabla_x f\big]$ 的散度型微分算子，其中 $U$ 为标量值函数，$I$ 为单位矩阵，$H$ 为反对称矩阵值函数。系数不假设有界，但具有 $C^2$ 正则性。我们证明，若 $Z=\int_{\mathbb{R}^d}e^{-U(x) }dx<+\infty$ 且矩阵 $-\frac12\nabla^2_x U+\frac12\nabla_x\left\{\nabla_x\cdot H-[\nabla_x U]^TH\right\}$ 的数值范围上确界关于测度 $d\mu=Z^{-1}e^{-U}dx$ 满足某指数可积条件，则对任意 $1 \le p<q<+\infty$，存在常数 $C>0$ 使得对 $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ 有 $\left\| f\right\|_{W^{2,p}(\mu)}\le C\Big(\left\|{\cal L}f\right\|_{L^q(\mu)}+\left\|f\right\|_{L^q(\mu)}\Big)$。此处 $W^{2,p}(\mu)$ 为具有二阶导且 $L^p(\mu)$ 可积的函数的 Sobolev 空间。我们的证明是概率性的，并依赖于 Malliavin 微积分的应用。