关于 $p=1$ 的 Hardy--Littlewood--Sobolev 不等式

设 $\mathcal{W}$ 为 $d$ 个变量的 $\mathbb{R}^\ell$ 值 Schwartz 分布空间中关于伸缩与平移封闭的不变子空间。我们证明，若空间 $\mathcal{W}$ 不包含形如 $a\otimes \delta_0$ 的分布（$\delta_0$ 为狄拉克 delta），则对函数 $f\in\mathcal{W}\cap L_1$，不等式 $\|\mathbb{I}_\alpha [f]\|_{L_{p,1}}\lesssim \|f\|_{L_1}$，$\frac{p-1}{p} = \frac{\alpha}{d}$ 以一致常数成立；此处 $\mathbb{I}_\alpha$ 为阶 $\alpha$ 的 Riesz 位势，$L_{p,1}$ 为 Lorentz 空间。该结果作为一个特例蕴含不等式 $\|\nabla^{m-1} f\|_{L_{\frac{d}{d-1},1}} \lesssim \|A f\|_{L_1}$，其中 $A$ 为 $m$ 阶消去椭圆微分算子。