关于Hardy型不等式一个极限情形的注记

经典Hardy不等式在Sobolev空间 $W_0^{1,p}$ 中当 $1\le p< N$ 时成立。在 $p=N$ 的极限情形下，已知通过在Hardy势中加入对数函数，可在 $W_0^{1,N}$ 中成立一种称为临界Hardy不等式的不等式。在本注记中，为解释势中对数函数的出现，我们通过当 $p \nearrow N$ 时的某种极限过程，从具有最佳常数的经典Hardy不等式推导出该对数函数。并且我们表明，我们的极限过程对二阶Sobolev空间 $W_0^{2,p}$（$p \in (1, \frac{N}{2})$）中的经典Rellich不等式以及Poincar\'e不等式同样适用。