反向 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式

经典的尖锐 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式指出，对于 $1<p, t<\infty$ 和 $0<\lambda=n-\alpha <n$ 且满足 $1/p +1 /t+ \lambda /n=2$，存在最佳常数 $N(n,\lambda,p)>0$，使得 $$|\int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)|x-y|^{-\lambda} g(y) dx dy|\le N(n,\lambda,p)||f||_{L^p(\mathbb{R}^n)}||g||_{L^t(\mathbb{R}^n)}$$ 对所有 $f\in L^p(\mathbb{R}^n), g\in L^t(\mathbb{R}^n)$ 成立。其尖锐形式归功于 Lieb，他证明了具有尖锐常数的不等式极值函数的存在性，并计算了 $p=t$（或其中之一为 2）情况下的最佳常数。除了 Stein 和 Weiss 在 1960 年考虑过 $p\in ((n-1)/n, n/\alpha)$（因此 $\alpha$ 可能大于 $n$）的情况外，关于 $\alpha>n$ 尚无其他结果。在本文中，我们证明了对于 $0<p, t<1$，$\lambda<0$，反向 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式对所有非负 $f\in L^p(\mathbb{R}^n), g\in L^t(\mathbb{R}^n)$ 成立。对于 $p=t$ 的情况，证明了极值函数的存在性，通过移动球面法对所有极值函数进行了分类，并计算了最佳常数。