由通用常数一致有界的最优 Hardy--Littlewood 不等式

对于 $\ell _{p}$ 空间上且 $m<p\leq 2m$ 的 $m$-线性形式的 Hardy--Littlewood 不等式断言，对于所有连续的 $m$-线性形式 $T:\ell _{p}\times \cdots \times \ell _{p}\rightarrow \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，有 \begin{equation*} \left( \sum_{j_{1},...,j_{m}=1}^{\infty }\left\vert T\left( e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{m}}\right) \right\vert ^{\frac{p}{p-m}}\right) ^{\frac{p-m}{p}}\leq 2^{\frac{m-1}{2}}\left\Vert T\right\Vert \end{equation*}。$m=2$ 的情形恢复了 Hardy 和 Littlewood 于 1934 年证明的一个经典不等式。作为本文结果的一个推论，我们证明了将 $2^{\frac{m-1}{2}}$ 替换为 $2^{\frac{\left( m-1\right) \left( p-m\right) }{p}}$ 后，同样的不等式依然成立。特别地，当 $m<p\leq m+1$ 时，上述不等式的最优常数由 $2$ 一致有界。