复多项式 Hardy--Littlewood 不等式的下界

复齐次多项式的 Hardy--Littlewood 不等式断言：给定正整数 $m\geq2$ 和 $n\geq1$，若 $P$ 是 $\ell_{p}^{n}$ 上次数为 $m$ 的复齐次多项式，其中 $2m\leq p\leq\infty$，由 $P(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum_{|\alpha|=m}a_{\alpha }\mathbf{{x}^{\alpha}}$ 给出，则存在常数 $C_{\mathbb{C},m,p}^{\mathrm{pol}}\geq1$（其不依赖于 $n$），使得 $$\left( {\sum\limits_{\left\vert \alpha\right\vert =m}}\left\vert a_{\alpha }\right\vert ^{\frac{2mp}{mp+p-2m}}\right) ^{\frac{mp+p-2m}{2mp}}\leq C_{\mathbb{C},m,p}^{\mathrm{pol}}\left\Vert P\right\Vert ,$$ 其中 $\Vert P\Vert:=\sup_{z\in B_{\ell_{p}^{n}}}|P(z)|$。在这篇简短笔记中，除其他结果外，我们为常数 $C_{\mathbb{C},m,p}^{\mathrm{pol}}$ 提供了非平凡的下界。例如，我们证明对于 $m\geq2$ 和 $2m\leq p<\infty$，当 $m$ 为偶数时 $$C_{\mathbb{C},m,p}^{\mathrm{pol}}\geq2^{\frac{m}{p}}$$，当 $m$ 为奇数时 $$C_{\mathbb{C},m,p}^{\mathrm{pol}}\geq2^{\frac{m-1}{p}}$$。关于 $p=\infty$ 情形（即复多项式 Bohnenblust--Hille 不等式的特例）的估计最近由 D. Nu\~nez-Alarc\'on 于 2013 年获得。