关于Hardy-Littlewood优控问题中的Mockenhoupt猜想

Hardy-Littlewood优控问题仅对偶整数指数$p$有肯定答案，而对所有$p \neq 2\mathbb{N}$存在反例。Montgomery猜想即使在幂等多项式中也存在某些反例，即存在某个有限字符集和某些符号，使得带符号的字符和具有比所有符号都取$+$的幂等字符和更大的$p$次范数。该猜想最近被Mockenhaupt和Schlag证明。然而，Mockenhaupt猜想甚至经典的$1 + e^{2\pi i x} - e^{2\pi i (k+2)x}$三项字符和（Hardy和Littlewood已用于$p=3$和$k=1$）在这方面也应有效。该猜想仍未证明，因为Mockenhaupt和Schlag的构造使用了四项幂等多项式。在我们之前的工作中，我们证明了$k=0,1,2$的情形，即$0<p<6$且$p\notin 2\mathbb{N}$的范围。在此继续工作，我们证明了$k=3,4$的情形也成立。我们方法的技术改进包括改进的四阶求积公式、$G_0^2/G$（其中$G$是幂等多项式的绝对值平方函数）的有限估计（即使在$G$的零点处也有效），以及子区间内各种导数逼近的详细误差估计，这些子区间由于泰勒逼近半径更小而具有加速收敛性。