Hardy-Littlewood优控问题中的三项幂等反例

Hardy-Littlewood优控问题提出于20世纪30年代，可以表述为：当$\hat{f}\ge|\hat g|$时，是否总有$\int |f|^p\ge \int|g|^p$。该问题仅对偶数整数指数$p$有肯定答案。Montgomery猜想，即使在幂等多项式中也必然存在一些反例，即存在某个有限的指数集和一些$\pm$符号，使得带符号的指数和具有比所有符号都选+的幂等指数和更大的$p$次范数。该猜想最近被Mockenhaupt和Schlag证明。然而，一个自然的问题是，甚至经典的$1+e^{2\pi i x} \pm e^{2\pi i (k+2)x}$三项指数和（Hardy和Littlewood在$p=3$和$k=1$时已使用过）是否在这方面有效。这一点仍未得到证明，因为Mockenhaupt和Schlag的构造使用的是四项幂等函数。我们研究了这个更尖锐的问题，并表明至少在特定情况下，Hardy-Littlewood优控问题中确实存在三项幂等反例；即对于$0<p<6, p \notin 2\NN$，有$\int_0^{\frac12}|1+e^{2\pi ix}-e^{2\pi i([\frac p2]+2)x}|^p > \int_0^{\frac12}|1+e^{2\pi ix}+e^{2\pi i([\frac p2]+2)x}|^p$。证明结合了精细的微积分、数值积分和精确的误差估计。