特殊求积误差估计及其在Hardy-Littlewood优控问题中的应用

Hardy-Littlewood优控问题仅对偶整数指数$p$有肯定答案，而对所有$p\neq 2\mathbb{N}$存在反例。Montgomery猜想即使在幂等多项式中也存在反例。最近Mockenhaupt和Schlag用一些四项幂等多项式证明了这一点。然而，Mockenhaupt猜想甚至经典的三项特征和$1+e^{2\pi i x}\pm e^{2\pi i (k+2)x}$应该对所有$2k<p<2k+2$和所有$k\in\mathbb{N}$成立。在之前的两篇论文中，我们证明了$k=0;1;2;3;4$时的猜想，即范围$0<p<10, p\notin 2\mathbb{N}$。这里我们证明即使$k=5$的情况也成立。我们方法技术细节的改进包括在某个四阶求积的误差界中使用全变差和积分均值估计。我们的估计很好地利用了所遇函数的特殊形式：给定次数的三角多项式绝对值平方的幂和对数幂的线性组合。因此求积误差估计不那么一般，但我们可以找到对我们实际有用的更好常数。