混合字符和符号和的分布问题及 Littlewood 多项式的极值问题

我们证明了关于混合字符和符号和的分布结果：\begin{equation*} \sum_{n\le x }\chi(n)e(n\theta), \end{equation*}其中固定 $\theta\in [0,1]$ 和随机字符 $\chi \pmod q$，以及固定字符 $\chi$ 和随机抽取的 $\theta\in [0,1]$。我们给出了本结果的各种应用。例如，我们构造具有大马氏度量和 $L_1$ 范数 Littlewood 多项式，从而在马氏问题和 Newman 问题中建立了新的纪录。我们还证明，著名的 Turyn 多项式的 $L_{2k}$ 范数在平移 $\alpha=1/4$ 处渐近最小化，证明了 G"unther 和 Schmidt 的猜想。我们工作的一个重要要素是处理“对数可积”问题的通用方法。