具有光滑模的有理函数的混合不完全特征和

设 $\chi=\chi_q$ 为模 $q$ 的原特征并固定 $\Delta>0$。1989 年，Graham 和 Ringrose 对长度为 $N=q^\Delta$ 的区间内的特征和 $\sum_{M<n\leq M+N} \chi(n)$ 给出了强界，前提是 $q$ 无平方因子且足够光滑。在此我们证明，光滑性参数可以取为 $N^{1-\epsilon}$。我们还讨论了各种推广和应用，并在几个方面获得了最佳可能结果。