大特征和的频率与结构

设 $M(\chi)$ 表示给定非主 Dirichlet 特征 $\chi \pmod q$ 的 $|\sum_{n\le N}\chi(n)|$ 的最大值，并设 $N_\chi$ 为取得该最大值的点。本文研究了当 $q$ 为素数时，$M(\chi)/\sqrt{q}$ 在模 $q$ 特征变化时的分布，并探讨了 $N_\chi$ 的位置。我们证明了 $M(\chi)/\sqrt{q}$ 的分布在大部分可能范围内一致地弱收敛于一个通用分布 $\Phi$，并得到了 $\Phi$ 尾部的（双指数衰减）估计。几乎所有使 $M(\chi)$ 较大的 $\chi$ 都是奇的且为 1-pretentious 的特征。现在，$M(\chi)\ge |\sum_{n\le q/2}\chi(n)| = \frac{|2-\chi(2)|}\pi \sqrt{q} |L(1,\chi)|$，而人们已知后者表达式较大的频率，这也是早期证明 $\Phi$ 下界的主要方法。然而，我们表明对于大多数使 $M(\chi)$ 较大的 $\chi$，$N_\chi$ 与 $q/2$ 保持有界距离，且 $M(\chi)$ 的值略大于 $\frac{\sqrt{q}}{\pi} |L(1,\chi)|$。