特征和的平均值

我们证明了特征和的傅里叶展开的短截断能很好地近似该特征和在区间上的平均值。我们给出了该结果的若干应用。其一为：对任意 $b$，存在无穷多个特征，使得对所有与 $b$ 互素的 $a$，求和至 $\approx aq/b$ 时其值 $\gg q^{1/2} \log \log q$；其二为：若模 $q \equiv 3 \pmod 4$ 的最小二次非剩余很大，则该特征和可达到 $(\sqrt{q}/\pi) (L(1, \chi) + \log 2 - \epsilon)$ 之大，且若 $B$ 为此非剩余，则存在长度为 $q/B$ 的和，其大小为 $(\sqrt{q}/\pi) (\log 2 - \epsilon)$。