系数为 0 或 1 且具集中 $L^{p}$ 范数的指数和

设 $f$ 为形如 $\exp(2 \pi i N x)$ 的指数和，其中 $N$ 为互异整数。我们将 $f$ 称为幂等三角多项式（因为 $f$ 与自身的卷积等于 $f$），或简称为幂等元。我们证明，对于每个 $p > 1$ 以及环面 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上满足 $|E| > 0$ 的每个集合 $E$，都存在在 $L^p$ 意义上集中于 $E$ 的幂等元。更确切地说，对于每个 $p > 1$，存在一个显式计算的常数 $C_p > 0$，使得对于每个满足 $|E| > 0$ 的 $E$ 和 $\epsilon > 0$，都能找到一个幂等元 $f$，使得 $|f|^p$ 在 $E$ 上的积分与在 $\mathbb{T}$ 上的积分之比的 $p$ 次根大于 $C_p - \epsilon$。这实际上是一个下界结果，虽然并非最优，但已接近我们方法所能给出的最佳结果。我们还为 $p = 1$ 时 $L^p$ 集中现象是否不发生这一尚未解决的问题提供了启发式和计算证据。