多元 Igusa 理论:指数和的衰减率

我们获得了形如 $$E_f(y)=\int_{\mathbb{Z}_{p}^{n}}\psi(\sum_{j=1}^r y_j f_j(x))|dx|$$ 的指数积分的一般估计,其中 $f_j$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 上的受限幂级数,$y_j\in\mathbb{Q}_p$,$\psi$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 上的非平凡加性特征。我们证明,若 $(f_1,...,f_r)$ 是支配映射,则对某个 $c>0$ 与 $\alpha<0$,一致地有 $|E_f(y)| < c|y|^{\alpha}$,其中 $|y|=\max(|y_i|)_i$。事实上,我们对一类大得多的指数积分也得到了类似的估计。为证明这些估计,我们引入了研究指数和的一种新方法,即利用基于 $p$-adic 胞腔分解的 $p$-adic 亚解析集理论与 $p$-adic 积分技巧。我们将我们的结果与某些对 $f_j$ 为多项式的 $E_f$ 用初等方法得到的显式界作了比较。