Igusa 关于模 $p$ 与 $p^2$ 指数和猜想及动理振荡指数

我们证明了 Igusa 指数和猜想的模 $p$ 与模 $p^2$ 情形。该猜想预测了当 $p$ 与 $m$ 变动时，齐次多项式情形下模 $p^m$ 指数和的特定一致界。我们引入了多项式 $f$ 的动理振荡指数，并利用该指数而非原始界证明了 $m=1,2$ 时更强的类似界。我们的界的模 $p^2$ 情形对所有多项式成立；模 $p$ 情形对齐次多项式成立，在某些额外条件下也对非齐次多项式成立。我们利用 Segers 的结果得到了动理振荡指数的自然下界。我们还证明了，对足够大的 $p$，当 $f=0$ 上存在 $\FF_p$-有理奇点时，Igusa 局部 zeta 函数有一个非平凡极点。我们引入了 $f$ 的一个新不变量，即 $f$ 的 flaw。