基于解析同构的动机振荡指数与模 $p^m$ 指数和的界

设 $f$ 为某数域上 $n$ 个变量的多项式，$Z$ 为仿射 $n$ 空间的子概形。$f$ 在 $Z$ 处的动机振荡指数概念由 Cluckers (2008) 和 Cluckers-Musta\c{t}\v{a}-Nguyen (2019) 提出。在本文中，我们详细阐述了这一概念并提出了几个问题。第一个问题是基域扩张下的稳定性；该问题与对非阿基米德局部域的密度的深入理解有关，在这些局部域上 $f$ 的 Igusa 局部 zeta 函数具有给定实部的极点。第二个问题围绕关于指数和的 Igusa 猜想，其界以动机振荡指数表示。第三，我们想知道上述问题是否仅依赖于奇点的解析同构类。通过使用 GAGA 定理、奇点消解和模型理论等多种技术，我们可以在基域扩张的意义下回答第三个问题。接下来，通过利用特征零与正特征非阿基米德局部域之间的转移原理，我们可以将这三个问题与关于与 jet 多项式相关联的 Artin-Schreier 层的 $\ell$-adic 上同调群权重的猜想联系起来。这样，如果 $f$ 是具有非有理奇点的 Thom-Sebastiani 型多项式，我们可以对所有问题给出肯定回答。作为推论，我们证明了 Igusa 猜想对于三变量任意多项式以及具有 $ADE$ 型奇点的多项式成立。在附录中，我们对 Cluckers-Musta\c{t}\v{a}-Nguyen (2019) 关于最大阶扭曲 Igusa 局部 zeta 函数极点的近期问题给出了肯定回答。