Igusa 的 p 进局部 zeta 函数与非退化曲面奇点的单值性猜想

2011 年，Lemahieu 和 Van Proeyen 证明了非退化曲面奇点的局部拓扑 zeta 函数的单值性猜想。我们从他们的工作出发，对 Igusa 的 p 进 zeta 函数和动机 zeta 函数获得了相同的结果。在 p 进情形下，对于满足 $f(0,0,0)=0$ 且关于其牛顿多面体非退化的多项式 $f \in \mathbb{Z}[x,y,z]$，我们证明了 $f$ 的局部 p 进 zeta 函数的每个极点都诱导了 $f$ 在复零点集（靠近原点处）某点的局部单值性的一个特征值。整篇论文本质上致力于证明：对于上述 $f$，由 $f$ 的牛顿多面体的所谓 $B_1$-面产生的 Igusa p 进 zeta 函数的某些候选极点实际上并非极点。事实证明，这比拓扑情形要困难得多。组合证明之前先对三维基本平行六面体中的整点进行了研究。结合 Lemahieu 和 Van Proeyen 的工作，这一主要结果导出了非退化曲面奇点的 p 进和动机 zeta 函数的单值性猜想。