曲线的局部 zeta 函数、非退化条件与牛顿多边形

本文致力于描述当 $f(x,y)$ 满足我们称之为算术非退化的新非退化条件时，Igusa 局部 zeta 函数 $Z(s,f,v)$ 的极点。更确切地说，我们对每个多项式 $f(x,y)$ 附加一个称为 $f(x,y)$ 的算术牛顿多边形的凸集族 $\Gamma ^{A}$，并引入关于 $\Gamma ^{A}(f)$ 的算术非退化概念。相对于固定几何牛顿多边形而言的退化多项式集合，包含一个由相对于某算术牛顿多边形非退化的多项式构成的、在 Zariski 拓扑下的开子集。若 $L$ 为一个数域，我们的主要结果断言：对 $L$ 的几乎全体非阿基米德赋值 $v$，以 $f(x,y)\in L[x,y]$ 的 $Z(s,f,v)$ 的极点，可用属于 $\Gamma ^{A}(f)$ 的凸集边界所含直线段的方程为项显式描述。此外，我们的证明给出了计算 $Z(s,f,v)$ 的一个有效过程。