关于$p$-adic Littlewood 猜想一个潜在反例的复杂性

令$|| \cdot ||$表示到最近整数的距离，对于素数$p$，令$| \cdot |_p$表示$p$-adic 绝对值。2004 年，de Mathan 和 Teuli\'e 提出疑问：对于每一个坏可逼近实数$\alpha$和每一个素数$p$，是否都有$\inf_{q \ge 1} \, q \cdot || q \alpha || \cdot | q |_p = 0$成立？除其他结果外，我们证明了：如果实数$\alpha$的部分商序列的复杂性增长过快或过慢，那么对于任意素数$p$，该猜想对数对$(\alpha, p)$成立。