费马 $p$-商的概率研究

对于固定的整数 $a>1$，我们提出对于任意充分大的素数 $p$，$p$-费马商 $q(p,a)$ 为零的概率远小于 $1/p$。为此，我们使用了多种启发式方法，并通过数值计算和解析结果加以论证；这些结果可能意味着 $q(p,a)=0$ 的情形是有限的，且存在整数 $a$ 使得对所有 $p$ 均有 $q(p,a)\neq 0$。然而，关于这些启发式方法尚未获得任何证明。