关于强费马大定理猜想的第二种情形

本文讨论 [GQ] 中引入的一个猜想（以下简称 $SFLT2$），该猜想推广了费马大定理的第二种情形：{\it 设 $p>3$ 为素数。丢番图方程 $\frac{u^p+v^p}{u+v}=w_1^p$（其中 $u,v,u+v, w_1\in\Z\backslash\{0\}$，$u,v$ 互素且 $v\equiv 0 \mod p$）无解。} 设 $\zeta$ 为 $p$ 次本原单位根，$K:=\Q(\zeta)$。若 $K$ 中位于 $q$ 之上的任意素理想 $\mathfrak q_K$ 的类均为某个类的 $p$ 次幂，则称素数 $q$ 为{\it $p$-主理想}。假设 $SFLT2$ 对 $(p,u,v)$ 不成立。设 $q$ 为任意与 $puv$ 互素的奇素数，$f$ 为 $q\mod p$ 的阶，$n$ 为 $\frac{v}{u}\mod q$ 的阶，$\xi$ 为 $n$ 次本原单位根，$\mathfrak q$ 为 $\Q(\xi)$ 中的素理想 $(q,u\xi-v)$。作为对 [GQ] 一文的重访并回顾 Vandiver 的一些工作，本文补充证明：若 $q$ 是{\it $p$-主理想}且 $n\not=2p$，则对于 $k=1,\dots,p-1$，有 $$\Big(\frac{1+\xi\zeta^k}{1+\xi\zeta}\Big)^{(q^f-1)/p}\equiv 1\mod \mathfrak q.$$ 我们将通过实例推导，对于充分大的 $p$，应有大量素数整除 $v$。另一方面，我们将证明若 $q$ 是模 $p$ 阶为 $f$ 且整除 $(u^p+v^p)$ 的任意素数，则 $$(1-\zeta)^{(q^f-1)/p}\equiv p^{-(q^f-1)/p}\mod q,$$ 且若 $q$ 整除 $u^p-v^p$ 也有类似性质的结果，这有力地加强了 Furtw"angler 的第一和第二定理。证明原理基于 $p$-Hilbert 类域论。