关于 Furtwängler 定理与费马大定理的第二种情形

本文作为文献 [Que] 的补充，探讨了费马大定理第二种情形（FLT2）下 Furtwängler 定理的一些推广。设 $p$ 为奇素数，$\zeta$ 为 $p$ 次本原单位根，$K:=\Q(\zeta)$，$C\ell_K$ 为 $K$ 的类群。若对于 $\Z_K$ 上任意位于 $q$ 之上的素理想 $\mk q_K$，其类 $c\ell_K (\mk q_K)\in C\ell_K$ 均为某个类的 $p$ 次幂，则称素数 $q$ 为 $p$-主素数。假设 FLT2 对 $(p,x,y,z)$ 不成立，其中 $x, y, z$ 为互素整数，$p$ 整除 $y$，且 $x^p+y^p+z^p=0$。设 $q$ 为整除 $\frac{(x^p+y^p)(y^p+z^p)(z^p+x^p)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ 的素数，$\mk q_K$ 为 $K$ 上位于 $q$ 的任意素理想。我们得到了 $p$ 次幂剩余符号关系：$$(\frac{p}{\mk q_K})_K=(\frac{1-\zeta^j}{\mk q_K})_K \quad (j=1,\dots,p-1)。$$ 作为应用，我们证明：若 Vandiver 猜想对 $p$ 成立，则 $q$ 为 $p$-主素数。类似地，设 $q$ 为整除 $\frac{(x^p-y^p)(y^p-z^p)(z^p-x^p)}{(x-y)(y-z)(z-x)}$ 的素数，$\mk q_K$ 为 $K$ 上位于 $q$ 且整除 $(x\zeta-y)(z\zeta-y)(x\zeta -z)$ 的素理想。我们给出了所有满足 $1<k\leq\frac{p-1}{2}$ 的 $k$ 对应的 $p$ 次幂剩余符号 $(\frac{\epsilon_{k}}{\mk q_K})_K$ 的显式公式，其中 $\epsilon_k$ 为由 $\epsilon_k=:\zeta^{(1-k)/2}\cdot\frac{1+\zeta^k}{1+\zeta}$ 给出的分圆单位。证明原理基于 $p$-Hilbert 类域论。