关于完全实数域的循环 $\mathbb{Z}_l$-扩张上的广义费马方程

设 $K$ 为一个奇度的完全实数域。设 $l \geq 5$ 为一个素数，且 $l \nmid [K:\mathbb{Q}]$ 且 $\gcd(\frac{l-1}{2}, [K:\mathbb{Q}])=1$。我们证明，如果 $2$ 在 $K$ 中不可约，$l$ 为非 Wieferich 素数，即 $2^{l-1} \not\equiv 1 \pmod{l^2}$，且 $l$ 在 $K$ 中完全分解，则在 $K$ 的循环 $\mathbb{Z}_l$-扩张的每个第 $n$ 层 $K_{n,l}$ 上都成立费马最后一个定理的渐近形式。随后我们证明，广义费马方程 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 在 $K_{n,l}$ 的每个第 $n$ 层上没有渐近解，当 $A,B,C \in \{u2^r : u\in \mathcal{O}_K^\times,\ r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\}$。对于任何奇素数 $d$，我们也证明，如果 $A,B,C \in \{\pm 2^r d^s : r,s \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\}$ 且 $h_{\mathbb{Q}_{n,l}}^+$ 为奇数，则广义费马方程 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 在 $\mathbb{Q}_{n,l}$ 的每个第 $n$ 层上没有有效的渐近解 $(a,b,c) \in \mathcal{O}_{\mathbb{Q}_{n,l}}^3$，且 $2 \mid abc$。在 $\mathbb{Q}_{n,l}$ 情形下的有效性由 Throne 证明的关于 $\mathbb{Q}_{n,l}$ 上椭圆曲线的模性结果得到。