关于全实域上广义费马方程的解

设 $K$ 为全实数域，$\mathcal{O}_K$ 为 $K$ 的整数环。本文研究 $K$ 上具有素数指数 $p$ 的广义费马方程 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 的渐近解，其中 $A,B,C \in \mathcal{O}_K \setminus \{0\}$ 且 $ABC$ 为偶数。对于某类域 $K$，我们证明方程 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 不存在满足 $2|abc$ 的渐近解 $(a,b,c) \in \mathcal{O}_K^3$。然后，在对 $A,B,C$ 的某些假设下，我们也证明 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 在 $K^3$ 中无渐近解。最后，我们给出了 $K$ 的几个纯局部判别准则，使得 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 在 $K^3$ 中无渐近解，并计算了当 $K$ 为实二次域时此类域的密度。