使用模方法研究签名 $(r,r,p)$ 的渐近 Fermat 问题

设 $K$ 为一个全实域，$r\geq 5$ 为一个固定的有理素数。在本文中，我们使用 Freitas 和 Siksek 近期工作中提出的模方法，研究签名 $(r,r,p)$ 方程 $x^r+y^r=z^p$（其中 $p$ 为变化的素数）的非平凡本原解 $(x,y,z) \in \mathcal{O}_K^3$。这里需要对模方法进行适应性调整，我们遵循 Freitas 近期的工作，在 $K(\zeta_r)$ 的全实子域上构造 Frey 曲线。当 $K=\mathbb{Q}$ 时，我们得出：对于签名 $(r,r,p)$，当 $r \in \{5,7,11,13,19,23, 37,47,53,59,61,67,71,79,83,101,103,107,131,139,149\}$ 且 $p$ 足够大时，不存在满足 $2|z$ 的非平凡本原整数解 $(x,y,z)$。对于二次域也有类似结果，例如当 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 时，对于签名 $(5,5,p),(7,7,p)$, $(11,11,p),(13,13,p)$ 且 $p$ 足够大的情况，不存在满足 $\sqrt{2}|z$ 的非平凡本原解 $(x,y,z)\in \mathcal{O}_K^3$。