全实域上签名 (p,p,2) 与 (p,p,3) 的渐近费马问题

设 $K$ 为一个全实数域，并考虑其上的费马型方程 $Aa^p+Bb^q=Cc^r$。我们称指数三元组 $(p,q,r)$ 为该方程的指数签名。我们利用涉及模性、水平降低和惯性群像比较的方法，证明了关于签名为 $(p,p,2)$ 与 $(p,p,3)$ 的费马方程解的若干结果。这些结果推广并扩展了 I\c{s}ik、Kara 和 Ozman 的近期工作。例如，考虑次数为 $n$ 的全实域 $K$，满足 $2 \nmid h_K^+$ 且 $2$ 惰性。此外，假设存在素数 $q\geq 5$ 在 $K$ 中完全分歧且满足 $\gcd(n,q-1)=1$，则我们知道方程 $a^p+b^p=c^2$ 对充分大的 $p$ 在 $(a,b,c) \in \mathcal{O}_K^3$ 中不存在满足 $2 | b$ 的本原非平凡解。