数域上签名为 $(p,p,2)$ 的方程求解

我们采用模数方法研究数域上 Diophantine 方程 $$Aa^p+Bb^p=Cc^2$$ 的解。我们首先在满足适当 $S$-单位条件的一般数域上证明了渐近结果，针对非完全实数域的情况下假设一些标准猜想。具体而言，我们验证了该条件在无限系列实二次域中成立。在渐近环境之外，我们也获得了有效结果。特别地，对于方程 $$a^p+db^p=c^2$$ 在 $K= \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 且 $d \in \{3, 11, 19, 43, \}$ 以及 $K= \mathbb{Q}(\sqrt d)$ 且 $d \in \{3, 5, 11, 13, 19, 29\}$ 上的方程，我们找到显式的下界（取决于 $d$），使得当 $p$ 超过这些下界时，不存在某种类型的非平凡解。