数域上签名 $(p,p,3)$ 的三元丢番图方程

本文使用模方法证明了关于丢番图方程 $x^p+y^p=z^3$ 在各个数域上解的结果。首先，在假设若干标准模性猜想的前提下，我们对满足某些技术条件且窄类数为 1 的一般数域证明了渐近结果。其次，我们证明存在一个显式界限，使得当 $p$ 大于该界限时，方程 $x^p+y^p=z^3$ 在 $K=\Q(\sqrt{-d})$（其中 $d=1,7,19,43,67$）上不存在特定类型的解。在证明过程中，我们证明了关于 Galois 表示不可约性、惯性群像以及 Bianchi 新形式的若干结果。