关于 $px^2 + q^{2n}= y^p$ 及相关丢番图方程

本文研究了标题方程，其中 $p>3$ 是一个素数且 $\not\equiv 7 \pmod 8$，$q$ 是一个奇素数，$x,y,n$ 是正整数且 $x,y$ 互素。当 $p\equiv 3\pmod 8$ 时，我们证明了（定理 2.3）该方程无解。对于 $p\not\equiv 3\pmod 8$ 的情况，处理该方程是一项困难的任务。我们重点关注 $p=5$ 的情形，原因在于 F. Abu Muriefah 发表在本期刊第 128 卷（2008 年）第 1670-1675 页上的一篇文章。关于这个特殊方程，我们的主要结果是定理 1.1，其证明基于关于丢番图方程 $5x^2-4=y^n$（整数解）的结果，这些结果本身也很有趣，将在第 3 节和第 4 节中阐述。最后这些结果是通过使用诸如两个对数线性形式和超几何级数等工具获得的。