关于一类签名 $(2,2n,3)$ 的广义 Fermat 方程

我们考虑丢番图方程 $7x^{2} + y^{2n} = 4z^{3}$。我们确定了该方程在 $n = 2, 3, 4$ 和 $5$ 时的所有解。我们给出了一个 Kraus 型判据，用于证明对于特定素数 $p > 7$，丢番图方程 $7x^{2} + y^{2p} = 4z^{3}$ 无非平凡真整数解。我们对所有满足 $7 < p < 10^9$、$p \neq 13$ 的素数在计算上验证了该判据。我们利用辛方法与二次互反律证明了丢番图方程 $7x^{2} + y^{2p} = 4z^{3}$ 对正比例的素数 $p$ 无非平凡真解。在论文 \cite{ChDS} 中我们考虑了丢番图方程 $x^{2} +7y^{2n} = 4z^{3}$，确定了 $n=2$ 和 $3$ 时的所有解族，并对 $n=4$ 以及素数 $n \geq 5$ 时的解给出了（大体上的）猜想性描述。