关于形如 $x^2+y^{2n} = z^p$ 的若干广义费马方程

本文的主要目标是研究广义费马方程 $$x^2+y^{2n} = z^{3p}$$ 在互素整数 $x$、$y$ 和 $z$ 中的解，其中 $n \geq 2$ 且 $p$ 为固定素数。利用全实域上的模性结果以及 Hilbert 尖点本征形式的显式计算，我们给出了该方程在 $p=7$ 情形下的完全求解，并对固定 $p$ 得到了渐近结果。此外，利用类似技术，我们求解了第二个方程，即 $x^{2\ell}+y^{2m} = z^{17}$，其中素数 $\ell,m \ne 5$。