广义费马方程 $x^{13} + y^{13} = z^n$ 的研究

设 $n \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$。我们研究广义费马方程\n\n$$x^{13}+y^{13}=z^n, \quad x,y,z \in \mathbb{Z}, \quad \gcd(x,y,z)=1.$$\n\n通过结合多种技术，包括模数方法、经典下降、单位筛法以及在数域上的 Chabauty 和 Mordell--Weil 筛法方法，我们证明当 $n=5$ 时，其所有解 $(a,b,c)$ 都是平凡的，即满足 $abc=0$。在广义 Riemann 假设下，我们进一步证明当 $n=7$ 时也仅存在平凡解。此外，我们提供了关于一般 $n \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ 的部分结果，特别是证明任何满足 $13 \mid c$ 的解 $(a,b,c)$ 都是平凡的。