实阿贝尔域上的模椭圆曲线与广义费马方程 $x^{2\ell}+y^{2m}=z^p$

使用多个强大的模性定理与类域论的组合，我们推导了关于某些实阿贝尔域上半稳定椭圆曲线的新模性定理。我们推断，若 $K$ 是导子 $n<100$ 的实阿贝尔域，且 $5 \nmid n$ 且 $n \ne 29$, $87$, $89$，则 $K$ 上的每个半稳定椭圆曲线 $E$ 都是模曲线。令 $\ell$, $m$, $p$ 为素数，其中 $\ell$, $m \ge 5$ 且 $p \ge 3$。对于广义费马方程 $x^{2\ell}+y^{2m}=z^p$ 的假想非平凡本原解，我们关联一条定义在 $\mathbb{Q}(\zeta_p)^+$ 上的 Frey 椭圆曲线，并借助能级降低与我们的模性结果研究其模 $\ell$ 表示。我们推断当 $p \le 11$，或当 $p=13$ 且 $\ell$, $m \ne 7$ 时，不存在非平凡本原解。