半稳定椭圆曲面模空间的算术

我们证明了在 $\mathcal{Z}_{\mathbb{F}_q(t)}(\mathcal{B})$ 上计数 $\mathbb{F}_q(t)$ 上半稳定椭圆曲线的一个带有零阶低阶项的新的精确渐近公式，该计数通过判别式 $\Delta(X)$ 的有界高度进行。精确计数是通过考虑 $\mathbb{P}^{1}$ 上具有 $12n$ 个结点奇异纤维和一个区分截面的非奇异半稳定椭圆纤维化（也称为半稳定椭圆曲面）的模空间获得的。我们在半稳定椭圆曲面的模函子与态射栈 $\mathcal{L}_{1,12n} \cong \mathrm{Hom}_n(\mathbb{P}^{1}, \overline{\mathcal{M}}_{1,1})$ 之间建立了 $K$-点的一一对应，其中 $\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$ 是稳定椭圆曲线的 Deligne-Mumford 栈，而 $K$ 是任意特征不为 $2,3$ 的域。对于 $\mathrm{char}(K)=0$，我们证明了 $\mathrm{Hom}_n(\mathbb{P}^1,\mathcal{P}(a,b))$ 在 $K$-栈的 Grothendieck 环中的类（其中 $\mathcal{P}(a,b)$ 是一个一维 $(a,b)$ 加权射影栈）等于 $\mathbb{L}^{(a+b)n+1}-\mathbb{L}^{(a+b)n-1}$。由此，我们发现模空间 $\mathcal{L}_{1,12n}$ 的母题是 $\mathbb{L}^{10n + 1}-\mathbb{L}^{10n - 1}$，并且加权 $\mathbb{F}_q$-点集的基数为 $\#_q(\mathcal{L}_{1,12n}) = q^{10n + 1}-q^{10n - 1}$。最后，我们通过整体域类比，对 $\mathcal{Z}_{\mathbb{Q}}(\mathcal{B})$ 上通过判别式 $\Delta$ 的有界高度计数 $\mathbb{Q}$ 上半稳定椭圆曲线的问题，提出了一个类似的启发式公式。