高斯整数中某些二次无理方程的解

本文证明，四次二次无理方程 $x^4 \pm pqy^4=\pm z^2$ 和 $x^4 \pm pq y^4= \pm iz^2$ 在满足 $p \equiv 3 \pmod 8, ~ q \equiv 1 \pmod 8 ~\text{且}~ \displaystyle\legendre{p}{q} = -1$ 的素数 $p$ 和 $q$ 时仅有平凡解。我们通过求解两个椭圆曲线族的 torsion 来求解给定的二次无理方程。此外，我们还计算了这些两个椭圆曲线族在高斯域 $\mathbb{Q}(i)$ 上的秩。