具有立方和与和的立方的丢番图方程

我们求解了 $a \, (x^3 \!+ \! y^3 \!+ \! z^3 ) = (x \! + \! y \! + \! z)^3$ 类型的丢番图方程，其中 $x,y,z$ 为整数变量，系数 $a\neq 0$ 为有理数。我们证明存在无穷多族此类方程具有非平凡解，包括 $a$ 为任意立方数或特定有理分数的情况。同时也存在无穷多族不具有任何非平凡解的方程，包括在整数 $m$ 受一定限制时 $1/a = 1- 24/m$ 的情况。除非 $a = 9$ 或 1，这些方程可由椭圆曲线表示；且任何具有非零 $j$-不变量和挠群 $\mathbb{Z}/3k\mathbb{Z}$（$k = 2,3,4$）或 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的椭圆曲线均对应于特定的 $a$。我们证明，对于任意 $a$，非平凡解的数量至多为 3 或为无穷多；而对于整数 $a$，其数量要么为 0 要么为 $\infty$。对于 $a = 9$，我们求出了依赖于两个整数参数的通解。这些三次方程在粒子物理学中非常重要，因为它们决定了 $U(1)$ 规范群下的费米子电荷。