关于费马型方程 $x^3 + y^3 = z^p$

我们证明费马型方程 $x^3 + y^3 = z^p$ 在 $-3$ 不是模 $p$ 平方时，不存在满足 $abc \ne 0$ 且 $\gcd(a,b,c)=1$ 的解 $(a,b,c)$。这将已知该方程无此类解的素数指数集合的 Dirichlet 密度提高至约 $0.844$。为证明，我们发展了一个具有独立意义的判别准则，用于判定两条在 2 处具有某种潜在好约化的椭圆曲线是否具有辛同构或反辛同构的 $p$ 挠模。