辛论证在某些 Fermat 型方程中的应用

设 $p$ 为素数。在 2000 年代初，人们证明了系数为 $$3x^p + 8y^p + 21z^p =0\quad \text{ 和 } \quad 3x^p + 4y^p + 5z^p=0$$ 的 Fermat 方程对于 Dirichlet 密度分别为 ${1/4}$ 和 ${1/8}$ 的指数 $p$ 集合不存在非平凡解。在本注记中，利用一个近期提出的判别法——用于判定 $\mathbb{Q}$ 上在 2 处具有某类加性约化的两条椭圆曲线是否具有辛同构的 $p$-挠模——我们将这些密度改进至 ${3/8}$。