数域上 $Aa^p+Bb^p=Cc^3$ 的非平凡解

本文使用模块方法研究数域上 $A a^p + B b^p = C c^3$ 的解。假设满足适当 $S$-unit 条件的一般数域，我们首先建立渐近结果。特别是，我们验证了该条件对几个虚二次域的满足情况。除了渐近设置外，我们还获得了一个有效结果。具体而言，对于方程 $a^p + d b^p = c^3$ 关于 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 且 $d \in \{7, 19, 43, 67\}$ 的情形，我们确定一个显式界限（取决于 $d$），以至于当 $p$ 超过该界限时，某些类型的解不存在。