关于二次域上 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 方程的解

我们给出在任意二次数域 $K$ 上方程 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 的解 $(x,y,z)$ 存在的必要条件，其中 $A,B,C$ 为 $p$ 次方无平方的整数。我们确定当 $A,B,C$ 两两互素时，$x,y,z$ 为有理数的情形。此外，我们证明当 $BC=\pm 1$ 且 $A\neq \pm 2$ 时，$x,y,z$ 在 $K\setminus\mathbb{Q}$ 中。最后，我们证明当 $BC\neq \pm 1$ 时，不存在解 $(x,y,z)$ 使得 $Ax^p+By^p+Cz^p=0$ 且 $x,y,z$ 在 $K\setminus\mathbb{Q}$ 中。