Lerch 定理的应用及关于二次剩余的置换问题

设 $p$ 为奇素数。对每个满足 $p\nmid a$ 的整数 $a$，著名的 Zolotarev 引理指出，Legendre 符号 $(\frac{a}{p})$ 是由乘以 $a$ 所诱导的 $\Z/p\Z$ 上置换的符号。Frobenius 将 Zolotarev 的结果推广到奇整数的情形。此后，Lerch 将这些推广到所有正整数。本文探讨 Lerch 结果的一些应用。例如，我们研究涉及模 $p$ 任意 $k$ 次幂剩余以及 $p$ 的幂的本原根的置换。最后，我们讨论关于模 $p$ 二次剩余的若干置换问题。特别地，我们证实了 Sun 提出的一些猜想。