若干涉及二次剩余猜想的证明

我们证实了 Sun 提出的若干关于奇素数模二次剩余的猜想。对于任意素数 $p\equiv 1\pmod 4$ 与整数 $a\not\equiv0\pmod p$,我们证明 \begin{align*}&(-1)^{|\{1\le k<\frac p4:\ (\frac kp)=-1\}|}\prod_{1\le j<k\le(p-1)/2}(e^{2\pi iaj^2/p}+e^{2\pi iak^2/p}) \\=&\begin{cases}1&\text{if}\ p\equiv1\pmod 8,\\\left(\frac ap\right)\varepsilon_p^{-(\frac ap)h(p)}&\text{if}\ p\equiv5\pmod8,\end{cases} \end{align*} 以及 \begin{align*}&\left|\left\{(j,k):\ 1\le j<k\le\frac{p-1}2\ \&\ \{aj^2\}_p>\{ak^2\}_p\right\}\right| \\&+\left|\left\{(j,k):\ 1\le j<k\le\frac{p-1}2\ \&\ \{ak^2-aj^2\}_p>\frac p2\right\}\right| \\\equiv&\left|\left\{1\le k<\frac p4:\ \left(\frac kp\right)=\left(\frac ap\right)\right\}\right|\pmod2. \end{align*} 其中 $(\frac{a}p)$ 为勒让德符号,$\varepsilon_p$ 与 $h(p)$ 分别为实二次域 $\mathbb Q(\sqrt p)$ 的基本单位与类数,且 $\{x\}_p$ 为整数 $x$ 模 $p$ 的最小非负剩余。此外,对于任意素数 $p\equiv3\pmod4$ 与 $\delta=1,2$,我们确定了 $$(-1)^{\left|\left\{(j,k): \ 1\le j<k\le(p-1)/2\ \text{and}\ \{\delta T_j\}_p>\{\delta T_k\}_p\right\}\right|},$$ 其中 $T_m$ 表示三角数 $m(m+1)/2$。