满足互素条件的二次非剩余与非原根

设 $q\geq 1$ 为任意整数，设 $\epsilon \in [\frac{1}{11}, \frac{1}{2})$ 为给定实数。在本短文中，我们证明对所有满足 $$p\equiv 1\pmod{q}, \quad \log\log p > \frac{\log 6.83}{\frac{1}{2}-\epsilon} \mbox{ 且 } \frac{\phi(p-1)}{p-1} \leq \frac{1}{2} - \epsilon$$ 的素数 $p$，存在模 $p$ 的二次非剩余 $g$ 且 $g$ 不是原根，使得 $gcd\left(g, \frac{p-1}{q}\right) = 1$。