小素数$k$次幂剩余（$k=2,3,4$）：一种互反律方法

Nagell证明了对每个素数$p\equiv 1\pmod{3}$，$p > 7$，存在一个素数$q<2p^{1/2}$是模$p$的三次剩余。此处我们证明，对每固定$\epsilon > 0$，以及每个满足$p > p_0(\epsilon)$的素数$p\equiv 1\pmod{3}$，小于$p^{1/2+\epsilon}$的素数三次剩余个数超过$p^{\epsilon/30}$。我们的论证与Nagell一样，根植于三次互反律；有些令人意外的是，特征和估计未起作用。我们用相同方法建立了关于素数二次与四次剩余的相应结果。例如，对所有足够大的素数$p$，存在多于$p^{1/9}$个素数二次剩余$q<p$。